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【復習用数A】結局、有限少数と循環小数はどうやって解くの?

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皆さんこんにちは、ぬんける (@nunkeruinvade3) | Twitterです

 

有限小数無限小数について、皆さんの勉強の

 

予習、復習の助けとなるような記事を書いていけたらいいなと思います

私のブログでは

  • 中学高校の授業範囲を勉強したい!
  • いまいちど振り返って、勉強しなおしたい!
  • 予習、復習の補助となる解説が欲しい!

そのような方に向けた勉強記事を書いています

 

 

1.有限小数って?循環小数って?

 

まず、有限小数無限小数有理数という数のグループに属します

数は実数と虚数に分かれ、虚数というのは複素数ですから今回は除外します

実数の中には無理数有理数という二つのグループがあり、

 

有理数すべての有理数は分数(=a/bなど)で表せる

  例:3分の2 10  0.32 など 

無理数すべての無理数有理数ではない実数で、循環しない無限小数で表せる

  例:π(円周率) 根号を用いた整数ではない数(=√2,√5など) など

 

わかりやすく図で表すと、こういうことになります

 

すべての実数のイメージ

 簡単ですね!

 

今回は有理数の中の循環小数

有限小数について勉強していきましょう!

 

1-1 循環小数とは?

 

循環小数というのはその名の通り循環している小数です

例えば、3分の2これは小数で表すと0.6666666666…と6が続きます

このような数を循環小数といい、循環している小数部分の

初めの数と終わりの数のうえに・を打ちます    

具体的には、0.'6 という感じです

※今回はこの上に・を打つことができなかったので、'を用いて表します

循環している部分を循環節、循環節の桁数を循環周期といいます

 

1-2 有限小数とは?

有限小数というのもその名の通り有限な少数です

具体的には、0.125などで、割り切れています

有限小数の筆記方法は特別な点はありません

 

2.有限小数の特徴

 

有限小数には一つの法則があります

たとえば、6分の1と5分の1、どちらが有限小数でしょうか

 

すぐに5分の1とわかるでしょう

 

では、6分の1はなぜ有限小数ではないのでしょうか

有限小数となる数をいくつも思い浮かべてみてください

おそらく、すべての数を分数で表した時、

分母の数が2^n または5^mまたは 2^a×5^bで表せます

※^sはs乗ということを表しています

 

これが、有限小数の法則です

つまり分数の分母の数が2または5の倍数またはその両方である

循環小数はそれに属さないということです  

 

問題:次の分数のうち、循環小数をすべて選べ

 

   1/1024, 2/125, 3/7, 1/3, 234/212 

 

答え:3/7,1/3,234/212

 

 

3.循環小数の変換

これから、循環小数の変換をやっていきます

循環小数を分数に、分数を循環小数に表します

 

例題:0.'1を分数で表せ

 

どうやってやれば分数で表せるの???

簡単な方法があります

 

それは、循環小数の循環部分を分子、その循環部分の数字の数だけ9を分母とする     

 

具体的には、0.'1ですから、1/9 9分の1となります

では、9分の1を小数で表してみましょう

そうすると、0.111111111…となりました

 

このようにすると循環小数を分数に表せます

この証明は複雑なので割愛させていただきます

 

次に、小数を分数に変換しましょう

 

これは残念ながら裏技などはありません

普通に割り算をしてください

それでは、問題を解いてみましょう

 

問題:循環小数を分数に、分数を循環小数に変換せよ

(1) 0.'123456'

(2) 2/33

 

※111は3*37 1111は101*11 11111は41*271

 111111は37*13*11*7*3 のように素因数分解できます

 

答え:(1) 41152/333333

           (2)0.'06'

 

4.まとめ

皆さん、お疲れさまでした

今回は小数の世界について少し触れることができました

 

今回の話をまとめると

有限小数循環小数について理解できましたか?

それでは、お疲れさまでした