【復習用数A】結局、三角形の五心・チェバの定理って何？
こんにちは、
ぬんける|ブログ始めたて (@nunkeruinvade3) | Twitterです
今回も数学Aの解説をやっていきます
今回は「三角形の五心・チェバの定理」
この2トピックについて解説していこうと思います！
１．三角形の五心
三角形の五心、すべて言えますか？
答えを、重要順に書いてみると
- 重心
- 内心
- 外心
- 垂心
- 傍心
ですね
三角形の五心、すべて定義を説明できますか？
自分でノートに書くなどして、必ずインプット、アウトプットしましょう
今回は上の３つ
-
重心
-
内心
-
外心
について話していきます
※垂心は重要ですが、今回は割愛します
※傍心はあまり出題例がないので、今回は割愛します
1‐1 重心
重心は、皆さんの知っている体の「重心」や物体の「重心」
これと同じ意味です
定理は
『三角形の3本の中線は共通の1点で交わる点』
性質は、
『各中線を2：1に内分する』
中線というのは、三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線のことです
ここで重要なのは、
『三角形の三本の中線が交わる点』かつ『その点は各中線を２：１に分ける』
この二つです
この二つさえわかれば、重心を用いた問題は簡単に解けます
1-2 内心
内心の定義は、
『三角形の内部にありかつ三つの辺に接する円の中心』
そして、この点の性質は
『三つの頂角の二等分線の交点で、三つの辺から等距離にある』
次に紹介する外心の性質と誤認しやすいので注意してください
重要なのは『３つの頂角の二等分線の交点』
この性質と同時に前回紹介した『二等分線と角』の定理を用いて
問題を解くことができます
前回の記事はこちら↓
1‐3 外心
外心の定義は
『三角形の外接円の中心となる点』
そしてその性質は
『三角形の各辺の垂直二等分線の交点に一致する』
『その点と各頂点を結んだ線はそれぞれ等しい』
この「垂直二等分線」が間違いやすいポイントです
中線とは異なります
円や円周角、接弦定理などと組み合わせて問題に登場することが多いです
イメージがつきやすい点だと思いますと思います
２．チェバの定理
続いて、チェバの定理です
△ABCにおいて、
BP/PC×CQ/QA×AR/RB＝１
この定理は、次の図の考えが大切になってきます
図において、△ABO:△AOC=BP:PC
これをもとに考えると、
BP/PC=△ABO/△AOC のようになり、それぞれ代入すると
それぞれ約分して、
△ABO/△AOC×△BOC/△BOA×△COA/△COB＝１
となります
これが証明です
この定理は単体で使うことが多いのでぜひ覚えておきましょう
３．まとめ
↑垂心(H)です
今回は、
- 三角形の五心
- チェバの定理
を紹介しました
この二つも前回に引き続き非常に重要な性質になっています
今回は問題はありませんが、ぜひ復習しましょう！
それでは、お疲れさまでした！
↓傍心です
