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【復習用数学A】結局、メネラウスの定理ってどう解けばいいの？

勉強

数学の画像

 

こんにちは、ぬんける|(@nunkeruinvade3) | Twitterです

 

今回も数Aの図形の性質について解説します

今回解説するのは「メネラウスの定理」

公式がややこしく、覚えずらいため苦手意識のある人も多いのではないでしょうか

 

今回はその点も踏まえて解説していきます！

 

ブログ「結局、思春期」は中高生の学校生活の悩みに寄り添い

勉強のサポートをするブログです

 

 

１．メネラウスの定理って何？

 

メネラウスの定理の画像

 

メネラウスの定理が苦手だ、という人は多いですが、

メネラウスの定理は、チェバの定理や方べきの定理と並ぶ最重要定理

しっかりと押さえましょう！

 

メネラウスの定理を使って問題を解くポイント

 

メネラウスの定理のポイントは1つだけです

  • 必ず対象の三角形を明示する

　　  ここで言う対象の三角形とは、比を求めたい辺を含む三角形のことです

 

メネラウスの定理は、三角形と直線の関係を表した定理です

 

メネラウスの定理の覚え方と拡張 | 高校数学の美しい物語

 

<メネラウスの定理>

△ABCと直線L(D-E)において

BE/EC×CF/FA×AD/RD=1

 

ここで、証明をしてみましょう

メネラウスの定理の証明の図

証)図において、直線 ℓ＝P-Q-Rと平行な点Cを通る線分と辺ABの交点をDと置く

　この時、RQ//DC、RP//DCであり、△ARQ∽△ADC→①かつ△BCD∽△BPR→②である

　よって①についてAR:RD=AQ:QCより

　AR/RD=AQ/QC→1⃣

　同様に、②において

　PC/BP＝RD/RB→2⃣

　このとき、それぞれ代入して

　RB/RA×PC/BP×AQ/QC 　2⃣を代入して

　=RB/RA×RD/RB×AQ/QC (RBは打ち消される)　1⃣を代入して

　=RD/RA×AR/RD

　=1　　　　　　　　　　　　　　　🈡

 

メネラウスの定理の拡張

 

メネラウスの定理は拡張できます

直線は三角形を横断する必要はないので、図のようになります

 

メネラウスの定理の拡張の図形

△ABCと直線L(D-E)において

BE/EC×CF/FA×AD/DB=1

 

公式は変わりませんが、すこしややこしいですね

こればかりは覚えるしかありません

 

２．三角形の辺と角について

 

三角形の画像

 

ここで一度、三角形について考えてみましょう

三角形は

  • 3辺
  • 3角
  • 3頂点　　を有する図形です

このとき、辺を表すと

BC=a となりますが、この a には名前と長さという意味があります

 

では、三角形の辺にはどのような決まりがあるのでしょうか

 

A, Bを結ぶ直線AB=c について、直線は二点を結ぶ最短の線のため

  c < a+b

となります

よって、それぞれの辺にもその性質がありますので

  • a<b+c
  • b<a+c
  • c<a+b

よって、これらの式を変形させて

  • a-b<c
  • c-a<b
  • c-b<a　c-b=-(b-c)=|b-c| とする

さらに変形させて

  • a<b+c
  • |b-c|<a

そして、これらを合わせると

　|b-c|<a<b+c　　となります

 

これは非常に重農ですので頭の片隅に入れておいてください

 

３．まとめ

 

数学のイラスト

 

 

今回はメネラウスの定理と三角形の性質について解説しました

数学を記憶科目として勉強するのはあまりふさわしくないですが、

覚えようとして覚えてしまっても構いません

 

数学で大切なのは本質を理解する、ということです

しっかりと復習しましょう

 

おつかれさまでした